«Не сетка»: ИИ впервые в истории сам решил центральную проблему геометрии

OpenAI сообщила, что ее внутренняя модель опровергла гипотезу Эрдёша 1946 года о единичных расстояниях — одну из самых известных задач комбинаторной геометрии. Это первый случай, когда центральная открытая задача целой подобласти математики решена ИИ полностью автономно. Препринт уже проверен, упрощен и усилен сторонними математиками, в том числе специалистами по теории чисел.

Сама задача формулируется на школьном уровне: возьмите n точек на плоскости и посчитайте, сколько пар оказались на расстоянии ровно 1. Какое максимально возможное число таких пар? Эрдёш в 1946 году построил пример: на квадратной сетке размером корень из n на корень из n получается чуть больше n единичных пар, то есть рост лишь немного быстрее линейного. Дальше он предположил, что лучше нельзя — сетка по сути оптимальна. За опровержение или доказательство этой гипотезы Эрдёш предлагал денежный приз, а в обзорной книге Брасса, Мозера и Паха задача описана как "возможно, самая известная и самая простая для объяснения проблема комбинаторной геометрии".

80 лет верили, что Эрдёш прав. Внутренняя модель OpenAI показала обратное: существует бесконечное семейство конфигураций, в которых число пар растет на полиномиальную долю быстрее, чем у сетки. Сама конструкция неожиданная: вместо геометрии, которой эту задачу пытались решать 80 лет, модель ушла глубоко в теорию чисел. Точки на плоскости она собрала как проекции элементов из бесконечных башен специальных числовых полей — объектов, существование которых обеспечивает классическая теорема Голода-Шафаревича 1960-х годов. Этот аппарат с задачей про точки и расстояния раньше никто не связывал.

Главное в этой новости — не сам результат, а как он получен. По описанию OpenAI, процесс был полностью автоматическим.