Внутренняя модель OpenAI решила еще 5 математических задач Эрдёша

Команда математиков OpenAI — Борис Алексеев, Мо Паттерман, Мехтааб Сони, Марк Селлке и Грегори Валиант — выпустила на arXiv второй препринт с решениями открытых задач, сформулированных Полом Эрдёшем. На этот раз задач пять: №960 про обычные прямые без "обычной клики", №987 про экспоненциальные суммы, №1091 про K4-free 4-хроматические графы, у которых все маленькие подграфы раскрашиваются в три цвета, №990 про разреженный вариант теоремы Эрдёша–Турана и №1141 про простые числа вида n − ak². Все пять доказательств целиком получены "внутренней моделью OpenAI", которая пока не доступна публике. Это прямое продолжение серии Short Proofs: первый препринт с тремя задачами вышел меньше двух недель назад.

Авторы снова описывают свою роль предельно скромно — "переварить доказательства и отредактировать их для ясности и элегантности". Единственное содержательное изменение людьми внесено в доказательство для задачи №1091: исходный вариант модели опирался на представление через "склейки Хайоша", а авторы заменили его на более простой аргумент через 2-вырожденность подграфов. По задаче №1141 модель доказала более общее утверждение, чем спрашивал Эрдёш: для любого фиксированного a≥1 только конечное число чисел n обладает свойством, что n − ak² простое для всех допустимых k. Исходная формулировка Эрдёша касалась только случая a=1.

Самое любопытное — эксперимент с GPT-5.4 Pro, самой мощной моделью компании, доступной сейчас публично. После того как авторы проверили решения внутренней модели, они пять раз независимо дали 5.4 Pro решить те же задачи. Из пяти задач модель справилась только с двумя: с задачей №960 (причем ее доказательство слабее — не закрывает случай, когда запрещенная клика имеет размер три) и с задачей №1141 (все пять