Из экспоненты в полином за два часа: что GPT-5.5 Pro сделала с задачей по теории чисел

Тимоти Гауэрс — обладатель Филдсовской премии и кембриджский профессор — опубликовал в блоге отчет о своем эксперименте с GPT-5.5 Pro: за неполных два часа модель улучшила границу в открытой задаче по аддитивной теории чисел с экспоненциальной до полиномиальной. Уровень итогового результата Гауэрс оценил как "вполне разумную главу диссертации по комбинаторике" — один самостоятельный блок результатов в диссертации PhD-студента. Профессор отдельно подчеркнул, что его собственный математический вклад был нулевым — он только переформулировал чужие задачи в запросы к модели.

Задача такая. Если есть множество A из k целых чисел, его h-кратной суммой называют все числа вида a₁+a₂+...+aₕ, где элементы можно повторять. Возникает естественный вопрос — какого минимального диаметра должно быть исходное A, чтобы получить заранее заданный размер суммы. Эту постановку поднял в своей статье американский математик Мел Натансон, а Гауэрс в качестве предметной работы взял свежий препринт студента MIT Айзека Раджагопала, где верхняя граница на нужный диаметр была экспоненциальной по k. Цель эксперимента — попытаться ее сжать.

На разминке Гауэрс отдал модели простой случай h=2 — за 17 минут GPT-5.5 Pro выдала квадратичную границу взамен экспоненциальной у Натансона. Дальше пошел общий случай и серия из четырех запросов: модель размышляла от 9 до 47 минут на каждом шаге, в сумме около часа сорока минут. Промежуточно граница ужалась с экспоненты от k до экспоненты от k^α при любом α больше 1/2, а на финальной итерации — до полиномиальной вида O(k^{10h³}).

Главное в этой истории — не сами цифры, а реакция Раджагопала. Прочитав препринт, он признал результат корректным не только построчно, но и на уровне идей. Ключевой ход модели был такой: вместо